বীজগণিত: প্রশ্ন ও উত্তর

সঠিক উত্তর: গ) x^2 + 1

গ) $x^2$ + 1 বিজোড়, কারণ জোড় সংখ্যার বর্গ সবসময় জোড়, আর জোড়ের সাথে ১ যোগ করলে বিজোড় হয়। x = 2k ধরলে $x^2$ = $4k^2$, যা জোড়; তাই $x^2$ + 1 বিজোড়। একইভাবে $y^2$ জোড়, $y^2$ + 4-ও জোড়। ফলে বাকি তিনটি অপশন বাদ পড়ে।

সঠিক উত্তর: খ) 5

খ) 5। ডান পাশের x² − 25 হলো দুটি বর্গের অন্তর, তাই a² − b² = (a − b)(a + b) সূত্রে x² − 25 = (x − 5)(x + 5)। বাম পাশের (x − 5)(a + x) এর সাথে মেলালে a + x = x + 5, অর্থাৎ a = 5। গুণ করে মিলিয়ে নেওয়া যায়: (x − 5)(5 + x) = x² − 25।

সঠিক উত্তর: ক) 2 < x < 4

A) 2 < x < 4. Factor first: $x^2$ − 6x + 8 = (x − 2)(x − 4). A product of two factors is negative only when they have opposite signs. That happens only between the roots, where x − 2 > 0 and x − 4 < 0. Outside that interval both factors share a sign, so the value is zero or positive.

সঠিক উত্তর: খ) - 9

B) −9. To make 2x − y as small as possible, take x at its lowest and y at its highest, since y is subtracted. So x = −3 and y = 3, giving 2(−3) − 3 = −6 − 3 = −9. Any other pair inside the ranges gives a larger value.

সঠিক উত্তর: ক) a > 0, a \neq 1

ক) a > 0, a $\neq$ 1। লগারিদমের ভিত্তি সবসময় ধনাত্মক এবং ১ ছাড়া অন্য সংখ্যা হতে হয়। এই শর্তে $a^0$ = 1, তাই $\log$_a 1 = 0। ভিত্তি 1 হলে এর যেকোনো ঘাতই 1, তাই লগের মান নির্দিষ্ট হয় না; ভিত্তি ঋণাত্মক বা শূন্য হলেও লগ সংজ্ঞায়িত নয়।

সঠিক উত্তর: খ) 22

B) 22. From log_4 x = 12, x = $4^{12}$ = $2^{24}$. Then x/4 = $2^{24}$ ÷ $2^2$ = $2^{22}$, so log_2 (x/4) = 22. A quicker route: log_2 x is twice log_4 x, so it is 24, and dividing by 4 takes away log_2 4 = 2.

সঠিক উত্তর: ক) xy > 0

A) xy > 0. A positive quotient means x and y have the same sign. Two numbers with the same sign always multiply to a positive number, so xy > 0 must hold. The others can fail: x = 1, y = 2 makes x − y negative, and x = y = −1 makes x + y negative.

সঠিক উত্তর: খ) 3^{x+1}

B) $3^{x+1}$. Adding the same term three times is the same as multiplying it by 3, so the sum is 3 $\times$ $3^x$. Since 3 = $3^1$, the rule $a^m$ $\times$ $a^n$ = $a^{m+n}$ turns this into $3^{x+1}$. It is not $9^x$, which equals $3^{2x}$.

সঠিক উত্তর: ক) ৩০

ক) ৩০ বছর। পুত্রের বয়স x হলে পিতার বয়স 2x + 2। ৫ বছর পর দুজনের বয়স হবে x + 5 ও 2x + 7, যোগফল 3x + 12 = 102। তাই 3x = 90 এবং x = 30। যাচাই: পিতা এখন ৬২, ৫ বছর পর বয়স ৬৭ ও ৩৫, যোগফল ১০২।

সঠিক উত্তর: গ) ৩৬

গ) ৩৬। দুটি ধনাত্মক সংখ্যা a ও b এর গুণোত্তর গড় $\sqrt{ab}$। এখানে ১৮ × ৭২ = ১২৯৬, আর $\sqrt{1296}$ = 36। আরেকভাবে দেখা যায়: ১৮, ৩৬, ৭২ একটি গুণোত্তর ধারা, সাধারণ অনুপাত ২, তাই মাঝের পদ ৩৬। খ) ১২৯৬ হলো গুণফল, গড় নয়।

সঠিক উত্তর: খ) 17

খ) 17। দুটি সমীকরণ যোগ করলে 2p = 8, তাই p = 4; বিয়োগ করলে 2q = 2, তাই q = 1। ফলে p² + q² = 16 + 1 = 17। মান বের না করেও হয়: p² + q² = $\frac{(p + q)² + (p − q)²}{2}$ = $\frac{25 + 9}{2}$ = 17।

সঠিক উত্তর: গ) 200

C) 200. Let Kamal have x and Shuvo y. Equal after Kamal gives 20: x − 20 = y + 20, so x = y + 40. After Shuvo gives 40: x + 40 = 2(y − 40), so x = 2y − 120. Then y + 40 = 2y − 120, giving y = 160 and x = 200. Check: Kamal would hold 240, twice Shuvo's 120.

সঠিক উত্তর: গ) (x - 1)(x - 6)

উত্তর (x - 1)(x - 6)। এমন দুটি সংখ্যা খুঁজতে হবে যাদের গুণফল +৬ আর যোগফল -৭। সংখ্যা দুটি -১ ও -৬। তাই x² - 7x + 6 = (x - 1)(x - 6)। যাচাই: গুণ করলে x² - 6x - x + 6, যা মূল রাশিই দেয়।

সঠিক উত্তর: ঘ) {}

ঘ) {}। A × B হলো সব ক্রমজোড় (a, b) এর সেট, যেখানে a আসে A থেকে আর b আসে B থেকে। B ফাঁকা হলে b হিসেবে নেওয়ার মতো কিছু নেই, তাই একটিও ক্রমজোড় তৈরি হয় না। যেকোনো সেটের সাথে ফাঁকা সেটের গুণজ তাই ফাঁকা সেট।

সঠিক উত্তর: ঘ) 2n + 3

উত্তর 2n + 3। n জোড় হলে 2n সবসময় জোড়, আর জোড়ের সঙ্গে বিজোড় ৩ যোগ করলে ফল সবসময় বিজোড়। বাকিগুলো যাচাই করুন: $n^2$ জোড়ের বর্গ, তাই জোড়। 3(n - 1) + 3 সরল করলে 3n, যা জোড়। 2n + 2 = 2(n + 1), এটিও জোড়।